基礎定義
實數 a,b>0，則 \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} 恆成立，等號成立於 a=b 時。
題目分析
此類題型應用於求「極值」
* 給定 a+b 為定值，可以求 ab 最大值
* 給定 ab 為定值，可以求 a+b 最小值
掌握原則：「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。
基礎例題（解答見最後）
1. a,b>0 且 a+b=10，求 ab 之最大值
2. a,b>0 且 3a+4b=10，求 ab 之最大值
3. a,b>0 且 a^2+b^2=10，求 ab 之最大值
4. a,b>0 且 9a^2+16b^2=10，求 ab 之最大值
5. a,b>0 且 ab=10，求 a+b 之最小值
6. a,b>0 且 ab=10，求 3a+4b 之最小值
7. a,b>0 且 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=10，求 ab 之最小值
8. a,b>0 且 ab=10，求 a+b與\frac{1}{a}+\frac{1}{b} 之最小值
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特殊例題（解答見最後）
1. a,b>0 且 9a^2+16b^2=10，求(3a-4b)^2之最小值
2. x>0，求x+\frac{1}{x}之最小值
3. x>-1，求x+\frac{1}{x+1}之最小值
4. x在第一象限，求cosx+\frac{1}{cosx}之最小值
6. a,b>0 且 2a+5b=10，求log(ab)之最大值
7. a,b>1 且 ab=15，求loga \times logb之最大值
8. ab=12，且令f(x)=2^x，求f(a)f(b)之最小值
這種題目通常結合不同函數自身的性質（互為倒數、乘法公式、指數、對數、三角函數等），注意看最後要求的東西是相加還是相乘，是求最大值還是最小值，再回推算幾不等式的形態。
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危險題型（題目出得太乾淨，誤導觀念）
（來自翰將複習講義108課綱，P.22例題8的詳解）
例題1
a,b>0 且 ab=16，求a+b+ \sqrt{a^2+b^2}之最小值
> \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}=4，故a+b \ge 8，最小值8發生於(a,b)=(4,4)
\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16，故a^2+b^2 \ge 32，最小值32發生於(a,b)=(4,4)
故總體最小值Min=8+32=40，發生在(a,b)=(4,4)
這個例題具有誤導性，讓我們以為f(a,b)+g(a,b)的極值可以分開算再合併在一起。我們看看例題2
例題2 a,b>0 且 ab=16，求3a+4b+ \sqrt{a^2+b^2}之最小值
\frac{3a+4b}{2} \ge \sqrt{12ab}=6\sqrt{3}，故3a+4b \ge 12\sqrt{3}，最小值12\sqrt{3}發生於(a,b)=(4\sqrt{3},3\sqrt{3})
\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16，故a^2+b^2 \ge 32，最小值32發生於(a,b)=(4,4)
故總體最小值Min=12\sqrt{3}+32，發生在(a,b)=(4,4)與(4\sqrt{3},3\sqrt{3})
兩項發生最小值的數對(a,b)不同，是不合理的。因為當f(a,b)有最小值時，帶入g(a,b)可能不是最小值。反之亦然。
所以Max[f(x)+g(x)]=Max[f(x)]+Max[g(x)]的關係式根本不存在。除非發生最大值時的x相同。希望同學不要被這個題目誤導。
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歷屆試題
107學測選填C
> \Delta PAB=\frac{1}{2}r\sqrt{25-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{r^2(25-r^2)}之最大值：問相乘之最大值，找是否有相加 \rightarrow r^2＋(25-r^2)=25為定值
算幾不等式：\frac{r^2＋(25-r^2)}{2}=\frac{25}{2} \ge \sqrt{r^2(25-r^2)} \rightarrow \frac{25}{4} \ge \frac{1}{2} \sqrt{r^2(25-r^2)}
歷屆試題的算幾不等式一定會結合應用題，可能是幾何或情境。注意題目是否求「最大值 / 最小值」，以及尋找「可變動的變數」，找到「變動變數」是否相加或相乘為定值。掌握原則：「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。
此外，有時候最大最小值的運算，需要思考最大最小值的四則運算與函數運算。請參考「[極值專題文章]（建立中）」
超出範圍之補充
補充（一）均值不等式子：HM-AM-GM-QM Ineq
HM：調和平均值 \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
AM：算數平均值 \frac{a+b}{2}
GM：幾何平均值 \sqrt{ab}
QM：平方平均值 \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
定理：對於a,b>0來說，HM \ge AM \ge GM \ge QM恆成立，等號成立於 a=b 時。
補出（二）高維度算幾不等式
二維：\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}
三維：\frac{a+b+c}{3} \ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}
N維：\frac{1}{2}\ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}
例題之解答
解答格式為「最大值Y^*發生在(a^*,b^*)時」
1. 25,(5,5)
2. \frac{25}{12},( \frac{5}{3}, \frac{5}{4})
3. 5,(\sqrt{5},\sqrt{5})
4. \frac{5}{12},( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})
5. 2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10})
6. 4 \sqrt{30},(\frac{2}{3} \sqrt{30},\frac{1}{2} \sqrt{30})
7. \frac{1}{25},(\frac{1}{5},\frac{1}{5})
8. 2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10}) 與 \frac{\sqrt{10}}{5},(\sqrt{10},\sqrt{10})
特殊例題之解答
1. 0,( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})
2. 2,x=1
3. 1,x=0
4. 2,cosx=1[katex] [katex]or[katex] [katex]x=0
5. log(2.5), (2.5,1)
6. \frac{log(15)}{2}^2,(\sqrt{15},\sqrt{15})
7. 2^{4 \sqrt{3}}, (2\sqrt{3},2\sqrt{3})