本文大綱
- 基本工具介紹
- 基本題型介紹
- 題型延伸
- 複合題型的拆解方法
- 練習方法
課程內容大綱
- 集合論（或 / 且）、加法原理、乘法原理、排容原理、笛摩根原理
- 排列組合符號：階乘！、排列P、組合C
- 基本排列組合型態：不重複排列、重複排列、不重複組合、（舊：重複組合）
- 延伸型態：直線 / 環狀排列、不盡相異物排列、數字排列、走棋盤、分組分堆
- 小技巧：相鄰 / 不相鄰、順序固定、至少 / 至多
- 大技巧：聰明的窮舉法、排容原理、反面作法
- 延伸：排列組合的等價性
- 機率論：視為相同 / 相異、視為排列 / 組合
前言
排列組合是高中生的大魔王，不會同學的就是不會，會的同學也會說「就是靠感覺」說不上個所以然，也無法教你。根據我高中數學家教的6年經歷，我認為可以參考以下的順序去學習排列組合。
首先，排列組合的背景工具，包含集合論、加法原理、乘法原理、排容原理、階乘！、排列P、組合C。這些都是課綱中的第一層必會，先從這些各別擊破。
再來，基本題型的延伸，通常就是兩個工具混合使用。這些題型算是課綱中的第二層必會。例如爬格子、不盡相異、抽襪子、分組分堆等耳熟能詳的延伸題。
接著，基本題型的大型混合，也是排列組合的進階題型。通常是「多個工具」加給「多個限制條件」（例如：至少 / 至多、分開、不包含、相鄰、照順序、不可重複），基本上就是結合排容原理、笛摩根原理、分項討論、反面作法、聰明的窮舉法等技巧去解題。
最後，排列組合學好後才能開始學機率（以及延伸：條件機率、貝氏定理、獨立事件、期望值）。
基本工具（第一層必會）
（一）集合論
- 集合與文氏圖
- 符號：聯集、交集、差集、宇集、餘集 / 補集
- 排容原理
- 笛摩根原理
（二）加法原理與乘法原理
- 加法原理
- 乘法原理
- 如何判斷
（三）基本符號與對應的排列組合現象
- 階乘
- 排列
- 組合
（四）排列組合基本型態
| 排列 | 組合 | |
|---|---|---|
| 不重複 | 不重複排列（P） | 不重複組合（C） |
| 重複 | 重複排列（$n^m$） | 重複組合（H）（舊） |
排列組合延伸題型（第二層必會）
（一）排列
相鄰、不相鄰、順序、排 / 不排特定位置
直線排列、環狀排列
不盡相異排列
走方格
重複排列延伸：搭船問題、至少一人
（二）組合
抽襪子 / 抽鞋子 / 湊CP
分堆 / 分組
排列組合進階題型（第三層必會）
例題一：同學當幹部（多條件不對稱分組）
包含ABCD的8位同學，分成甲乙丙3組。每人都要有組，美組至少2人。AB想要同組，但不想跟C或D也一起。分組方式＝498種。
例題二：不規則貼磁磚（聰明的窮舉法）
學測
例題三：淘汰賽（排列組合多重觀點）
ABCDEFGH 8人進行桌球單打淘汰賽，共進行3輪（4組－2組－1組）。第一輪AB不對上。方法數＝270種。
例題四：排數字（多條件排列）
0123455 7個數字排列成7位數，滿足(1)偶數(2)3在5左邊(3)1在2左邊？
ABCDEFG排列，A不在1且B不再2且C不再3的方法？
例題五：排班 / 排休假（分項討論）
ABC 3人排班顧店。一週七天中，每天都要排洽2人顧店，每人每週最多工作5天。排班方法數＝。
ABC 3人排班顧店。一週七天中，選擇一天當公休，其餘每天都要排洽2人顧店，每人每週最多工作4天。排班方法數＝。
例題六：坐座位（分項討論）
110-1模考數A
劇院安排防疫座位，甲乙2人不在同行也不在同列的座位方法＝。